Великая теорема Шимановского и другие.

   Здесь я выложил интересные формулы, которые пришли мне в голову 
при выдумавынии математических задачек на доказательство. Но задачками они
не являются, поскольку либо я сам не знаю решения, либо решение столь
простое, что никого не заинтересует. 
 

1. Великая теорема Шимановского.
   =============================

  Как-то раз я нашел совершенно изумительное по красоте равенство. Ну не 
чудо ли, глядите:

    3     3     3          3                          2
   1  +  2  +  3  + ... + n  =  ( 1 + 2 + 3 + ... +n )

Доказать пока не удалось. Вернее, попытки уводит далеко в дебри. А хочется
найти решение, столь же красивое. 
  Это уравнение имеет еще и замечательную геометрическую форму. Представьте
себя ребенком, играющим в кубики. Вы сложили из маленьких кубиков большой
куб. Наверх этого куба поставили другой, со стороной на единицу меньше.
Потом, сверху, еще на единицу меньше и так далее. Получается правильная
башня-пирамидка, на вершине которой - один единственный кубик. Теперь
рассыпьте сооружение, и из полученных кубиков всегда соберется плоский
квадрат. Любопытно, что сперва я придумал именно задачу с кубиками.

Дополнение от 02/03/05. Спасибо всем откликнувшимся. Доказательство
уже не требуется. 


2. Малая теорема Шимановского.
   ===========================

Смотрите, какая мистика выходит:
          
           2   2
  3 + 2 = 3 - 2
  
           2   2
  6 + 5 = 6 - 5

              2    2
  53 + 52 = 53 - 52

                    2      2
  1669 + 1668 = 1669 - 1668

Вообще, такое равенство справедливо для двух любых соседних чисел. 
Доказательство здесь - не менее красиво. Попробуйте разложить правую часть, по
формуле разности квадратов за 5-й класс. Здорово, правда?